Könyvek / Matematika / Egyetem/főiskola /

Matematikai analízis

egyetemi jegyzet

Tartalomjegyzék

ELŐSZÓ

1. HALMAZOK ÉS FÜGGVÉNYEK
1.1. Halmaz, a halmaz elemei és részhalmazai
1.2. DEscartes-féle szorzat
1.3. Relációk, függvények
1.4. A művelet fogalma
1.5. Műveletek halmazokkal
1.6. Műveletek relációkkal és függvényekkel
1.7. Injektív, szürjektív és bijektív függvények

teljes tartalomjegyzék...

1.8. Adott halmaz adott függvény általi képe és inverz képe
1.9. A kiválasztási axióma
1.10. Bináris (homogén) relációk
1.11. Adott halmaz infimuma, szuprémuma (alsó és felső határa)
1.12. Algebrai struktúrák

2. SZÁMHALMAZOK
2.1. A valós szám fogalma
2.2. A valós számok fontos részhalmazai
2.3. Sorozatok. Valós számsorozatok
2.4. Kardinális számok. A számosság fogalma
2.5. Improprius számok
2.6. A valós számok ábrázolása a számegyenesen

3. SZÁMSOROK
3.1. A sor fogalma és alaptulajdonságai
3.2. Váltakozó előjelű sorok
3.3. Abszolút konvergens sorok
3.4. Pozitív tagú sorok
3.5. Konvergens sorok összege közelítő értékének a kiszámítása

4. AZ n-DIMENZIÓS EUKLIDESZI TÉR
4.1. Az n-dimenziós euklideszi tér
4.2. Topológiai alapfogalmak Rⁿ-ben
4.3. Sorozatok az n-dimenziós euklideszi térben
4.4. Kompakt halmazok
4.5. Összefüggő (konex) halmazok

5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
5.1. Vektorváltozós vektorfüggvények határértéke
5.2. Jobb és bal oldali határértékek
5.3. Iterált határértékek

6. FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK
6.1. Adott pontban folytonos függvények
6.2. Halmazon folytonos függvények
6.3. A kontrakció elve (fixponttétel)
6.4. Egyenletesen konvergens folytonos tagú függvénysorozatok és sorok

7. NÉHÁNY FONTOS FÜGGVÉNYTÉR
7.1. Az Rⁿ-en értelmezett lineáris függvények tere, amelyeknek értékkészlete R^p
7.2. Az f: A→R^p korlátos függvények tere
7.3. Korlátos változású függvények
7.4. Az út és a görbe fogalma. Rektifikálható görbék
7.5. Konvex függvények

8. DERIVÁLTAK ÉS DIFFERENCIÁLOK
8.1. Iránymenti derivált
8.2. Parciális deriváltak
8.3. A Gateaux-féle differenciál
8.4. Frécher-féle differenciál és derivált
8.5. Implicit függvények
8.6. A derivált és a differenciál mértani jelentése

9. MAGASABB RENDŰ DERIVÁLTAK ÉS DIFFERENCIÁLOK
9.1. Valós változós valós függvények magasabb rendű deriváltja és differenciálja
9.2. Taylor-féle képlet valós változós valós függvények esetén
9.3. Vektorváltozós valós függvények magasabbrendű parciális deriváltjai és differenciáljai
9.4. Vektorváltozós valós függvények Taylor-képlete
9.5. A másodrendű derivált és a konvexitás

10. VALÓS FÜGGVÉNYEK SZÉLSŐÉRTÉKE
10.1. Egy-, illetve több változós valós függvény helyi szélsőértékei létezésének szükséges feltételei
10.2. A helyi szélsőérték létezésének elégséges feltételei

11. FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉKEK
11.1. Több valós változós függvény feltételes szélsőértékei

12. RIEMANN-STILTJES-FÉLE INTEGRÁL
12.1. A Riemann-Stieltjes-féle integrál fogalma és legegyszerűbb tulajdonságai
12.2. Darboux-féle összegek
12.3. Integrálhatósági kritériumok
12.4. Integrálható függvények
12.5. Integrálási módszerek
12.6. A Riemann-féle integrál két alkalmazása

13. IMPROPIUS INTEGRÁLOK
13.1. Improprius integrálok értelmezése és legegyszerűbb tulajdonságai
13.2. Improprius integrálok konvergencia kritériumai
13.3. Pozitív függvények improprius integrálja

14. PARAMÉTERTŐL FÜGGŐ INTEGRÁLOK
14.1. Paramétertől függő Riemann-féle integrálok
14.2. Paramétertől függő improprius integrálok

15. GÖRBE MENTI INTEGRÁLOK
15.1. Elsőfajú görbe menti integrálok. Az elsőfajú görbe menti integrálok fizikai jelentése
15.2. Másodfajú görbe menti integrálok. A másodfajú görbe menti integrálok fizikai jelentése
15.3. Másodfajú görbe menti integrálok függetlensége az úttól

16. TÖBBSZÖRÖS INTEGRÁLOK
16.1. A Jordan-féle mérték fogalma
16.2. A többszörös integrál fogalma és azonnali tulajdonságai
16.3. Darboux-féle összegek. Integrálhatósági kritérium. Integrálható függvények
16.4. A kétszeres és háromszoros integrálok kiszámítása
16.5. A Green-féle képlet és alkalmazásai

17. FELÜLETI INTEGRÁLOK
17.1. A felület fogalma
17.2. Elsőfajú felületi integrálok
17.3. Másodfajú felületi integrálok

18. HATVÁNYSOROK. HATVÁNYSORBA FEJTÉS
18.1. Hatványsorok
18.2. Függvények hatványsorba fejtése

19. TRIGONOMETRIKUS SOROK
19.1. Fournier-féle együtthatók
19.2. Fournier-sor konvergenciája

IRODALOM

Kapcsolódó könyvek