Matematika 11. o., M1, Matematikai analízis. Törzsanyag + differenciált tanterv
a 2006-os tantervnek megfelelő tankönyv
Tartalomjegyzék
I. SOROZATOK
1. A valós számtengely ponthalmazai (R részhalmazai)
A valós számok ábrázolása a számtengelyen
Intervallumok
Pont környezete
Korlátos halmazok
2. Sorozatok. Néhány sajátos sorozat
Sorozatok
Számtani sorozat
Mértani sorozat
teljes tartalomjegyzék...
Másodrendű állandó együtthatójú lineáris homogén rekurziós összefüggéssel értelmezett sorozat
3. Monoton sorozatok
4. Korlátos sorozatok
5. Sorozat határértéke
6. A határérték tulajdonságai
7. A határértéknek a műveletekkel kapcsolatos tulajdonságai
Műveletek konvergens sorozatokkal
Műveletek tetszőleges határértékű sorozatokkal
8. Néhány fontos határérték
9. Határérték-számítási eljárások
A tulajdonságok közvetlen alkalmazása
„Erőltetett” (forszírozott) kiemelés
Határérték meghatározása, számítások elvégzése összegek és szorzatok kiszámítása segítségével
Bővítés, egyszerűsítés
Rekurziós képlettel megadott sorozatok határértékének vizsgálata
Paramétertől függő határértékek
10. A határérték egyenlőtlenségekkel kapcsolatos tulajdonságai
11. Néhány nevezetes határérték
12. *Néhány határérték-számítási kritérium
1. A Cesáro–Stolz-féle lemma (segédtétel)
2. A Cauchy–d’Alembert-féle kritérium
II. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE
1. Valós változós valós függvény
A valós változós valós függvény fogalma
Néhány fontos függvény
A maximális értelmezési tartomány megállapítása
Valós változós valós függvény grafikus képe
Korlátos függvények
2. Függvény határértéke
A határérték különböző értelmezése
3. Bal és jobb oldali határérték
4. Néhány ismert függvény határértéke
5. A határértéknek a műveletekkel kapcsolatos tulajdonságai
6. A határérték egyenlőtlenségekkel kapcsolatos tulajdonságai
7. Néhány fontos határérték
8. Határérték-számítási eljárások
1. Határérték-számítás a függvény átalakítása nélkül
2. Határérték-számítás a függvény átalakítása által
9. Aszimptoták
1. Függőleges aszimptota
2. Vízszintes aszimptota
3. Ferde aszimptota
III. FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK
1. Adott pontban folytonos függvények
A folytonosság fogalma
A folytonos függvény tulajdonságai
2. Intervallumon folytonos függvények
1. A Darboux-tulajdonság
2. A Darboux-tulajdonság következményei
3. Folytonos függvény előjelének meghatározása
3. *Korlátossági tulajdonságok
4. *Folytonos függvény inverz függvénye
IV. A DERIVÁLT
1. A derivált fogalmának eredete
A görbe érintője
A pillanatnyi sebesség
2. A derivált fogalma
3. A derivált mértani jelentése
4. A deriválható függvények néhány tulajdonsága
5. Néhány elemi függvény deriváltja
6. Az összetett függvény és az inverz függvény deriváltja
7. A derivált kiszámítása (összefoglalás és kiegészítés)
A deriválási képletek táblázata
Az összetett függvények deriválási táblázata
8. Magasabb rendű deriváltak
9. A derivált alkalmazásai
Egyenlőtlenségek bizonyítása, összegek kiszámítása
Algebrai egyenlet többszörös gyöke
10. A L’Hospital-szabály
V. DERIVÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK ALAPTÉTELEI
1. Helyi szélsőérték
2. Fermat-tétel
3. Darboux-tulajdonság
4. Rolle-tétel
5. Lagrange-tétel
6. A Lagrange-tétel következményei
Monotonitási tulajdonságok
Nullával egyenlő derivált
Egyenlő deriválttal rendelkező függvények
A derivált kiszámítására vonatkozó tulajdonságok
VI. A FÜGGVÉNYEK TANULMÁNYOZÁSA A DERIVÁLTAK SEGÍTSÉGÉVEL
1. Az elsőrendű derivált szerepe
A monotonitási intervallumok és a helyi szélsőértékek meghatározása
A függvény változásának vizsgálata
2. A másodrendű derivált szerepe
Konvexitás és konkavitás
Inflexiós pont
3. Függvények ábrázolása
A függvény maximális értelmezési tartományának meghatározása
A függvény különleges tulajdonságainak felhasználása
A jellegzetes függvényértékek és határértékek meghatározása
Az aszimptoták meghatározása
Az elsőrendű derivált vizsgálata
A másodrendű derivált vizsgálata
Az összefoglaló táblázat elkészítése és a következtetések levonása
A grafikus kép elkészítése
4. Alkalmazások
Az egyenlet valós gyökeinek szétválasztása
Egyenlőtlenségek bizonyítása
Maximum- és minimumfeladatok
ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK
MEGOLDÁSOK
Kapcsolódó könyvek
